拉格朗日中值定理(拉格朗日中值定理第二种证法)

牛顿381、拉格朗日中值定理第二种证法（第二种辅助函数构造法）

“如第一张图所示，过原点O的直线OL，是和弦AB平行的直线。”现代学者说。

“直线OL的方程为y=[f（b）-f（a）]/（b-a）·x，其中[f（b）-f（a）]/（b-a）是斜率。”现代学者说。

…斜、率、斜率：见《牛顿289》…

{“已知斜率k和直线上一点A[a，f（a）]，代入直线点斜式公式y-b=k（x-a），得：

y-f（a）=[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）

移项得：y=f（a）+[f（b）-f（a）]/（b-a）·（x-a）

上式即为过AB两点的直线表达式。”现代学者说。

——《牛顿381》}

“函数φ（x）=f（x）-y可以理解为：φ（x）曲线上的每个点的y值，是曲线f（x）的y值，减去直线OL的y值，得出的那个值。”现代学者说。

…φ：音标 /faɪ/。第二十一个希腊字母。大写Φ，小写φ…

“即：φ（x）曲线上的每个点的y值，是曲线f（x）的y值，挖去直线OL的y值（图中红圈里的部分），得出的那个值。”现代学者说。

“去除OL的y值后，此时，OX’相当于x轴，

就是说：f（x）曲线在新坐标系y’Ox’的样子，就是φ（x）曲线。”现代学者说。

“在新坐标系y’Ox’中，φ（x）曲线的弦线AB与x轴OX’平行。

∴ 在新坐标系y’Ox’中，A点y值等于B点y值

即φ（a）=φ（b）”现代学者说。

“∴ φ（x）在[a，b]上满足罗尔中值定理条件，可用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。”现代学者最后说。

…罗尔中值定理：见《牛顿367~375》…

“拉格朗日中值定理的辅助函数是怎么来的呢？——网友提问