数字的起源与演变

在那个远古时代，在那个比旧石器时代还要早的时代，在那个还没有文字记录言语的时代，中国黄河流域沿岸的先祖们就创造和使用了数字！

人类之所以可以创造数字，与人类天生就具有两种本能：

A.将个体从背景中识别出来的能力；

B.提取和比较个体特性（比如：个体的大小、颜色、... 等）的能力；

息息相关。

当然，这两种本能和人的大脑构造有关，不过，这里并不打算分析它们的成因，有兴趣的朋友可以参考《认知心理学》或《神经科学原理》。

为了说明，这两种本能与数字的关系，我们不妨做一个思想实验：假设你是一万年前黄河流域的某个部落的成员。这时部落正在用餐，你面前摆着的一堆野果就是你今天的食物。

首先是本能A，让你可以意识到 这堆野果，同时，让你可以从中拿出一个塞在嘴里。然后是随着一个一个野果进入你的脏腑，你可以感受到，野果堆大小在减少，这就是本能B，起了作用。

刚开始，野果堆被识别为一个整体，这时对野果堆的感知是“量”的多少，而 随着野果被吃掉， ”量“ 逐渐减少，当达到某个临界点后，野果堆中的每个野果就会以不同个体凸显出了，这时野果堆就有了“数”的多少。

山里红：蔷薇科，山楂属山楂的变种，分布于中国河北、黑龙江、内蒙古等地。

我们虽然不知道，“量”到“数”的临界点在那里，但有研究表明，新生的婴儿和南美最原始的部落，至少可以区分 1个、2个、3个，而语言中的人称代词：你、我、他，是另一个佐证。

所有的文明都能独立产生自己的数字，是作为这言语的一部分和语言一同诞生，这是在人类本能驱使下劳动实践的必然结果。

另一项，关于动物区分数字的实验，比如：黑猩猩，也能佐证，人类的祖先智人具有认知数字的能力。

言语远远早于文字，老先祖在没有文字的情况下会使用相对便捷的“物品”作为“具象数字”，而“具象数字” 之间的 一一对应关系，使得它具有记录数字的能力，例如：当用 石堆 分别去一一对应 果堆、人群、猪群、树林、... 时，石堆 就 数字。

考古研究表明，很多“物品”都被我们的老祖宗作为数字使用过。

可以认为，手指是最早的记录 数字的 ”物品“，这一点从小孩子学算术的掰手指行为，以及中国数字的十进制与十根手指对应，都可以得到佐证。

但是，手指 毕竟 只能记录1到10，于是 石子 就成为了一种代替物。

虽然石子现今已经失去的作为数字的功能，但依然能从其被用作围棋棋子的历史（考古发现：最早的棋子不是圆的，而是不规则形的石子，直到开始用鹅卵石来做棋子，才逐渐演变成今天的圆形）中看出一些痕迹，而骰子 和 牌九上的黑白红点，是石子被使用过的另外一些痕迹。

理论上，只要古人口袋里的 石子 足够多，就可以 记录任意 大的数字。不仅如此，石子还具有天然的计算能力，例如：

• 将 2 个石子 和 3 个石子放在 一起，自然就得到了 2+3=5 个 石子；

• 将 石子 排列成 2 行 3 列，自然就 得到了 2×3=6 个 石子。

石子甚至，还可以用来证明一些代数定理，例如：

注：这种对应石子可摆基本几何图形的数，被称为形数，它是毕达哥拉斯学派的研究对象之一。关于形数，有机会，再详细给大家介绍。

我们有理由猜想：围棋盘最早就是用来计算的“计算盘”，而黑白石子分别表示正负整数。

当然，石头还是太沉，不方便携带，于是我们的祖先又用短棍代替了石子，这就是算筹。

理论上，短棍是一维的线，石子是零维的点，因此，前者可以比后者表示更多信息，实际上也是如此：

我们的祖先用 1、2、3、4、5 根 纵放的短棍 分别表示数字 1、2、3、4、5， 这与 石子 的区别不大，但之后 用 1 根横着摆放的短棍 分别加上 1、2、3、4、根 纵放的短棍 来表示数字6、7、8、9，可就比 石子表示 “节省用料” 了。

接下来的 10 和 1 的表示一样，只不过短棍摆放位置向左移1位，之后只要在右边留出的空位上分别摆放1到9对应的短棍，就表示了数字 11 到 19；同时，再将左边的1分别替换为2到9，就可以表示20到99的所有数字了。

再接下来的 100 又复归 1 的表示，只不过短棍摆放位置向左移2位，之后 ... ...

... ...

从右向左数：

• 第1位称为个位，其上的每个数字就是它原本的值；

• 第2位称为十位，其上的每个数字是它原值的10倍；

• 第3位称为百位，其上的每个数字是它原值的100倍；

• 第4位称为千位，其上的每个数字是它原值的1000倍；

• 第5位称为万位，其上的每个数字是它原值的10000倍；

• ... ...

这种靠位置区分数字值的方法，叫做 位值制，是由中国老祖宗率先创造，并一直沿用到现在的阿拉伯数字中。

大家有没有发现：1到5的短棍摆放，和竖起的手指是多么相似，也许 短棍 本身就是 十根手指 不够用的 直接 替代品，中间不经过 石子。

在算筹的计数方法中，一个空位表示的数字0，聪明的读者会注意到，这存在一个问题：

若没有上下文数字定位参考，1根单独纵置的短棍，很难区分它是1还是10。

为了解决这个问题，老祖宗让所有处于处于10位的短棍，旋转90°，这样就得到了另外一种横置的摆放方式：

再推而广之，老祖宗规定：

对于任意10ⁿ位，当 n=0, 2, 4, ... 时，使用 纵式，当 n=1, 3, 4, ... 时，使用 横式。

《孙子算经》：凡算之法，先识其为，一从十横，百立千疆，千十相望，万百相当。

当然，这个方案依然不能 区分 单独的 1和 100、10 和 1000、... 等 ，所以在言语进行文字化的过程中，老祖宗使用了另外一种方式 ——单位制，来符号化数字（见后文），而算筹则成为了一种纯粹的计算工具，因为有下文数位对比，因此没有此类问题。

算筹的摆放方式，每位最多只需要5根短棍，只需要10根短棍 就可以表示 100 以内的所有数字，这样就极大的 “节省用料”，方便携带。但是有利必有弊，短棍不能像石子那样，通过简单的摆放来完成运算，于是老祖宗又开发出来一套完整的算筹运算方法，这就是现在使用的竖式运算的最早版本，被记录在《孙子算经》中。

算筹摆放方式和运算方法一起组成了完整的体系，使得算筹成为了世界上第一个成熟的计算工具。

石子和算筹的特长是方便计算，但是石子可随意增减、算筹很易打乱摆放，所以它们都不适用于 数字 的 保存和传播，于是绳结应需而生。

大家可能对河图洛书并不陌生，其中的数字就是用绳结表示的。

也有人认为，河图洛书，是用绳子穿起来的石子，但不管如何，绳子起到了固定数字的作用，使得数字可以长期保存和远距离传送。

绳结还被古人用于记事，并且，两个相同的绳结还被 作为 双方约定的合同”文书“，将绳结换成有刻痕的木片，称为刻木，也有类似的的作用。古人将用于合同”文书“ 的 绳结 和 刻木 分别 叫做 ”约“ 和 ”契“，我们今天的 所谓 ”契约“ 就是这么来的。

当然，与绳结一样，刻木也用于记录数字。现今我国的有些少数民族，仍然在使用绳结和刻木。

注：现代数学，对绳子打结，有更深入的研究，关于这方面知识，有兴趣的朋友可以参考《纽结论》。

短棍对于老祖宗的作用，可不仅仅是 算算术（算筹），它还是：做饭（擀杖）、吃饭（筷子）、战争（木棒）、... 甚至是上厕所（厕筹）的工具。

短棍 的另一项 重要作用 是 在 祭祀活动上 进行 占卜，称为 筮占。为了进一步减轻短棍的重量，以及增加神秘主义色彩，老祖宗会 使用 深山老林 里 的 一种 叫做 蓍草 的 多茎 草本植物 的 茎叶 做 占卜用，据说 蓍草的香味 可是使人 精神抖擞、眼明耳聪。

最好的蓍草可多至五十茎，因此五十被《周易》称为 “大衍之数”，并且作为 进行 筮占 所必须的 短棍 数量。

占和卜 是 两种不同的 预测未来的方法，占 是 排布 蓍草杆，而 卜 则 煅烧 龟甲或牛骨，具体步骤是：

• 将要向“上天”询问的问题，刻在甲骨正面上；

• 然后在甲骨背面挖几个眼，一般一个问题点对应一个眼；

• 接下来在篝火上烧烤甲骨，直到甲骨在这些眼周围产生裂纹；

• 最后 巫师 通过 这些 裂纹，解读 “上天” 的启示。

注：“卜”，文 就是甲骨上的裂痕，音 就是 甲骨烧裂时发出 “噗” 的一声。

占是算筹的直接应用。与石子分黑白一样，算筹也分红白，用于表示正负，这发展到《易经》中就是阴阳爻。从《易经》可以看出，算筹最早也被用于记事，卦可以认为是一种抽象的文字。但是，卦毕竟只有64个，只能表示一些抽象的含义，无法和言语符号一一对应，为了在卜中明确的询问，老祖宗不得不将 言语化为文字符号 刻在甲骨上，这就是汉字的第一个版本——甲骨文。

根据考古研究，我们新石器时代的先祖，就开始在彩陶上，刻画一些抽象的符号了，这些就是甲骨文的早期版本，而数字符号在这个时候就出现了；然后，就是 殷商的 甲骨文，汉字基本成形；然后，是西周的大篆，由于多镌刻在金属器皿（或石鼓）上所以也叫金文；然后，就是 秦朝的小篆，收录于《说文解字》；再后，就是 隶书，多出土于 楚秦汉的竹简，汉字到这一时期完全定型；最后，就是现在的楷书了。

接下来，我们来看看，汉字数字的演变过程：

• 1，2，3 在甲骨文中 分别就是 1根、2根、3根 横线，之后没有变动 就一直沿用到现在，即，分别为，“一”、“二”、“三”；

• 4 在甲骨文中 是 4根 横线，由于横线多容易刻画在一起，于是 到了金文，因为 4 的发音 同于 “擤鼻涕” ，于是 就将后者作为4的文字，后来到了隶书 演变为现在的 “四”。

而 “擤鼻涕“ 的本意 被改写为 “泗”；

• 5 在甲骨文中 是 “×”，它有5个点（4个端点+1个中心点），而人的手指刚好5个，于是“×”也表示人的手。甲骨文中的"又"，是人的手臂，其上端的”×”就是手。

因为 “×” 和 “＋” 都作为重要符号被刻画在器物上，从而无法保证方向，导致它们很难区分，于是后来，古人在 “×” 上下加了 两横（表示天地）以定位，5就演变为“沙漏”形。之后再经历 金文、小篆、隶书 直到 楷书，最终 演变为 现在的 “五”；

• 6 在甲骨文中 是 “房子”，因为房子有6个面（房子 的前后左右4面墙 加上 房顶的2个斜面）所以表示6，而且，6 古音 “陆” 和 “房子” 的 古音 “卢” 相同。之后， “房子” 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书，演变为 今天 的 "六"；

• 7 在甲骨文中 是 “+”，本意 “刻痕“。因为 古时 7 和 “刻痕” 同音，所以借用 “+” 表示 7，后来为了 区分 "十" 改写为 "七"。

而 “刻痕” 本意 被改写为 “切”；

• 8 从甲骨文开始一直就是 “八”，是一根（干枯的）短棍被折断发出"叭"的一声，本意是 “一分为二”，而 8 最具有此意：

因此，用 “八” 表示 8。

而将 本意 “一分为二” 改写为 “分”；

• 9 在甲骨文中是 因 挠后脑勺 或 摸索某物 而“极度弯曲的手臂”，它本意是 “极限” 和 “探索”。古人认为9是最大的数字，符合“极限”之意，于是 它表示 9，后来 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书，就演变为今天 的 “九”。

而 在 “九” 上加一个 “穴”，改写为 "究"，表示另一个本意 “探索”。

中国字的一个最大特点就是排列顺序不定，古代一般是 从上到下，从右到左，（而现在是 从右到左，从上到下），但有时也会 从右到左 （比如：牌匾），所以就无法使用算筹的“位值制”了，于是老祖宗发明了 “单位制”：

• 10 在甲骨文中 就是 1根 竖线，是表示10的数字单位，后来 金文在 竖线 中间加一个点（指示符号），再后来 小篆又将 点改成1横，就变成了今天的 “十”。

大家会发现，1，2，3，4 的甲骨文是 算筹的 横式，而10的甲骨文是 算筹的 纵式，这与由于算筹的规定（个位 纵 十位 横）刚好相反，这是由于，算筹是横着摆的，而甲骨文默认是竖着写的。

• 表示100的数字单位，在甲骨文中有两种解释：

○ 其一，是 “水滴上加一个指示符号”，表示“口水”，引申为争执，因为部落的人多了（达到100数）就会有争执，所以 用 “口水” 表示 100。又因为 唾沫星子 是白色，所以 也用 “口水” 表示 “白色”。

○ 其二，是 “柏子上加一个指示符号”，表示 “白色”，而老人的胡子是白色，又很多，于是 表示 100。

后来，为了区分 “白色”，在其上加1横，再之后 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书，就演变为今天 的 “百”。

• 表示1000的数字单位，在甲骨文中就是"人腿上加1横（指示符号）"， 后来 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书，就演变为今天的 “千”。这里，有两种解释：

○ 其一，表示“迁徙”，意思是部落的人再多（达到1000数），就会迁徙分成不同的部落，所以用“迁徙”来表示1000。而“迁徙” 的本意 改为 “迁”；

○ 其二，表示“腿毛”，腿毛比老人的胡子更多。

• 表示10000的数字单位，在甲骨文中就是“蝎子”，有两种解释：

○ 其一，表示“争斗”，意思如果人口再再多（达到10000数），则部落之间就会像蝎子一样争斗，所以用“争斗”来表示10000。

○ 其二，古人认为蝎子子孙不尽，数以10000记。

甲骨文中的 “蝎子” ，后来 经过 金文、小篆、隶书 直到 楷书，演变为今天的繁体字 “萬” 。

由于，西汉形成的 “萬” 字，写法比较繁琐，不利于书写，于是，到了南北朝时期，书法家 借用 与 “萬” 同音 的 “万”（表示一种舞蹈） 作为 “萬” 的异体字，一直沿用至今，就是现在的简化字。

注：我们现在使用的简化字，主要源于古字、俗字、异体字、草书楷化字，是漫长的汉字演变过程，早就形成的，而非上世纪60年代临时创造的。

以上就是主要的数字单位了，后来古人又以万为基础单位，创造了更大的数字单位：亿、兆、京、垓、秭、穣、沟、涧、正、载、极、恒河沙、阿僧只、那由他、不可思议、无量大数。它们之间的不再是10倍关系 而是 10000倍关系，即：

1亿 = 10000万，1兆 = 10000亿，...

不仅如此，古人还创造了小数单位：分、厘、毛、糸、忽、微、纤、沙、尘、埃、渺、漠、模糊、逡巡、须臾、瞬息、弹指、刹那、六德、虚空、清净、阿赖耶、阿摩罗、涅盘寂静。它们之间是 1/10关系，即：

1分 = 1/10个，1厘 = 1/分，...

注：古人将 数字单位1，称为 “个” 或者 “单”，例如：“个位“，”一百单八将“。

甲骨文时期 的 数字单位 受到 算筹 的影响，是与 数字连写的，比如：200就是 “白”上加2个横杠，3000就是“人“腿上加3个横杠，直到金文 才慢慢分开，成为了今天的形式，即： 将 200 写为 “二百”，3000写为 “三千”。

因为，有了单位值，所以不需要通过位置关系就可以 区分 1和100、10和1000，因此早期的数学，不需要将0文字化，后来随着数学的发展，有了需要后，古人才 用 “〇” 表示 算筹的空位，进而表示 0。

由于中国有算筹，所以 老祖宗 发明 汉字数字，并不是用于计算，而只是用于记录，这与 阿拉伯数字 即用于计算又用于记录不同。

中国数字（算筹+汉字数字）在汉朝就完全定型了，之后一直可以满足数学的发展需要。

直到宋朝开始，中国出现资本主义萌芽，商业开始发展，于是记账成为了数字的一个重要应用，可是由于 汉字数字 比较容易修改，例如：只要在 ”一“ 上加1横 就变成了 ”二“，这使得账目容易被篡改，于是从宋朝开始古人结合之前的 数字异体字，发明了 大写数字，（而原先的汉字数字，被称为 小写数字）：

零、壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰（陌）、仟（阡）

后来，明朝初年因重大贪污案，朱元璋发布法令，强制记账一律使用大写数字，这一制度一直沿着至今。

再到明朝中期，由于 算筹携带比较麻烦、而且运筹的效率并不高，无法满足 商业迅猛发展的需要，于是明朝数学家在算筹的基础上，结合石子和绳结，发明了算盘。算盘的计算方法，沿袭算筹，但是比算筹容易携带，最关键是 拨动算珠，可比 挪动短棍 效率高太多了。于是，算筹 很快取代了 算筹 成为了 主要 计算工具。

将算筹改进为算盘是一个方向，但是大家有没有想过，将算筹转化为文字，就像阿拉伯数字那样呢？明朝商人想到了，这就是今天的——苏州码子，也叫草码，花码、番仔码、商码，常用于当铺、药房，是古代民间的 加密 “商业数字”，现在依然在南方特别是香港被使用。

苏州码子的数字写法如下：

0：〇，1：〡或 一；2：〢或 二，3：〣或 三，4：〤，5：〥，6： 〦，7：〧，8：〨，9 〩

单位与小写数字一致。

此计数系统与现在的科学记数法很相近：分两排，第一排是 数字，从右向左（或从上倒下）为从高位到低位； 第二排是最高位的单位，例如：

〩〥〢二〇〧

十（元）

表示：95.2207（元）。

最后，稍微提一下：历法是数学的另外一个重要应用，古人发明的干支纪年，也是一种数字系统，相当于现在数学的，

由于牵扯较多数学知识，这里就不详细展开了，以后有机会再与大家讨论。

中国古代数学长于计算，大家从以上中国数字的起源和演变的复杂程度就能开出一些端倪。实际上，中国古代数学在宋朝达到了鼎盛，这时老祖宗就研究出 使用 算筹 求 高次方程 数值解的天元术 和 求解 同余方程组的 大衍求一术。

大家有时间应该好好读读中国古代数学经典，例如：《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《数书九章》、《算学宝鉴》等。